Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα μαθηματικά. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων
Εμφάνιση αναρτήσεων με ετικέτα μαθηματικά. Εμφάνιση όλων των αναρτήσεων

Τρίτη 14 Ιουλίου 2026

ο Johannes Kepler και η αρμονία της γεωμετρίας.

"Η γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς: ο ένας είναι το Θεώρημα του Πυθαγόρα, ο άλλος, η διαίρεση μιας γραμμής σε ακραία και μέση αναλογία. 
Το πρώτο μπορούμε να συγκρίνουμε με ένα μέτρο χρυσού, το δεύτερο μπορούμε να ονομάσουμε ένα πολύτιμο κόσμημα
Αυτή η ρήση αποδίδεται ευρέως στον Johannes Kepler και θεωρείται γνήσια, αν και συνήθως τη γνωρίζουμε μέσω μεταγενέστερων μεταφράσεων και παραπομπών, όχι από το πρωτότυπο λατινικό κείμενο.
Η πιο διαδεδομένη αγγλική διατύπωση είναι:
"Geometry has two great treasures; one is the Theorem of Pythagoras; the other, the division of a line into extreme and mean ratio. The first we may compare to a measure of gold; the second we may name a precious jewel."
Η ελληνική μετάφραση που παρέθεσα αποδίδει πιστά το νόημα του αγγλικού κειμένου.
Στα ελληνικά, ο όρος "διαίρεση μιας γραμμής σε ακραία και μέση αναλογία" είναι η κλασική ευκλείδεια ονομασία της χρυσής τομής 
Έτσι, σε ένα σύγχρονο μαθηματικό κείμενο θα μπορούσαμε να αποδώσουμε την φράση ως - Η γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς: ο ένας είναι το Θεώρημα του Πυθαγόρα, ο άλλος η χρυσή τομή. Το πρώτο είναι σαν ένα μέτρο χρυσού, το δεύτερο σαν ένα πολύτιμο κόσμημα!
Αυτή η διατύπωση είναι λιγότερο κυριολεκτική αλλά πιο φυσική για μας τους μη μαθηματικούς αναγνώστες, ενώ η μετάφραση που έδωσα είναι ιστορικά και φιλολογικά πιο κοντά στο πρωτότυπο.
επιμέλεια κειμένου:ntina

Κυριακή 20 Απριλίου 2025

sans les deux on ne pénétre au fond de rien..

αφηνόμαστε
άβουλα
και
παρασερνόμαστε μες τη ζωή από ένα αόρατο μαγνητικό κύμα, όπως τα νυφιάτικα μπουκέτα στο νερό κάποιου καναλιού... 
 ναι;
ή μήπως όχι;
...και ένα απόσπασμα από τον Leibnitz...
Χωρίς τα μαθηματικά δεν μπορούμε να διεισδύσουμε "βαθιά" στη φιλοσοφία.
Χωρίς τη φιλοσοφία δεν μπορούμε να διεισδύσουμε "βαθιά" στα μαθηματικά.
Χωρίς αυτά τα δύο δεν μπορούμε να διεισδύσουμε "βαθιά" πουθενά...
...sans les deux on ne pénétre au fond de rien....
ntina

Δευτέρα 16 Δεκεμβρίου 2024

Το ανθρώπινο λογισμικό, δηλαδή το σύνολο των σκέψεών μας, στηρίζεται στην λογική.

από το χρονολόγιο της Maria Fiotakihttps://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=pfbid0yvgTReinCwj6QnWEMDpmNKT2NvtjEbRHFBRuJGfGopenbv26xtxaW2nv9j4hS6k2l&id=100001252030344
Το ανθρώπινο λογισμικό, δηλαδή το σύνολο των σκέψεών μας, στηρίζεται στην λογική. Η λογική αποτελείται από ΔΩΔΕΚΑ κανόνες:
1. Αρχή της Αρχής
2. Αρχή του Αποχρωντος Λόγου
3. Αρχή του Χρόνου
4. Αρχή του Χώρου
5. Αρχή της Ταυτότητας
6. Αρχή του Συνόλου
7. Αρχή του Διττου Αντί
8. Αρχή του Αποκλειομενου μέσου ή τρίτου
9. Αρχή της Διαβαθμίσεως
10. Αρχή της μη Αντιφάσεως
11. Αρχή της Συγγενικότητος ή Ιεράρχησης
12. Αρχή εκ των Εναντίον τα Ενάντια
Λογική είναι ότι αρμόζει ή ανήκει στον Λόγο. Δηλαδή, έχουμε τον Λόγο, κάνουμε παρατηρήσεις και το αποτέλεσμα των παρατηρήσεων είναι οι κανόνες της λογικής. 
Λόγος είναι η διαίρεση, όπως ξέρουμε από τα μαθηματικά. Για να έχει κάποιο νόημα όμως αυτή η διαίρεση, πρέπει να υπάρχει κρίση και τάξη. Πως κρίνεται όμως και ταξινομείται το κάθε πράγμα προκειμένου να διαιρεθεί; Για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα γεννήθηκε η έννοια του "Μέτρου": μετράμε τα πράγματα, έτσι ώστε να μπορούμε να τα κρίνουμε και να τα ταξινομήσουμε σωστά. Και για να κρίνουμε και να ταξινομήσουμε σωστά, μετράμε την φύση των πραγμάτων. 
Στα Πλατωνικα έργα, υπάρχει η λέξη " Ιδέα" που προέρχεται από το ρήμα "οίδα". Αυτό που σήμερα αποκαλούν κάποιοι " Κόσμο των ιδεών", στα Πλατωνικα κείμενα περιγραφεται ως "Μουσική". Η Μουσική, η οποία ήταν κατά τους προγόνους μας κλάδος των Μαθηματικών μαζί με την αριθμητική, την γεωμετρία, την στερεομετρία και την αστρονομία, αποτελούσε κατά τον Πλάτωνα τη σκέψη του Πανγεννητορος Νοος. 
Η αρχική έννοια της λέξεως "Μαθηματικά" προέρχεται από τη λέξη "Μάθηση" η οποία σημαίνει απόκτηση γνώσεων ενώ Μαθηματικός είναι αυτός που είναι διατεθειμένος για μάθηση. Τα Μαθηματικά είναι γέννημα της Λογικής και το αποτέλεσμα της Λογικής και των Μαθηματικών, είναι η "Επιστήμη" (Επί+ισταμαι= γνωρίζω καλά). Στην αρχαία Ελλάδα, θρησκεία και επιστήμη ήταν ένα και το αυτό. Κάποιοι αργότερα, διαχώρισαν την θρησκεία από την επιστήμη με αποτέλεσμα η θρησκεία να γίνει μη λογική και η επιστήμη μη αγαθή. 
Η ελληνική μυθολογία είναι θεολογία και είναι η μοναδική ανά την υφήλιο που διατηρεί ΑΡΡΗΚΤΗ σχέση με την επιστήμη. Αποτελεί την αισθητική προσέγγιση του Κόσμου (έννοια που έχει αντικατασταθεί με τη λέξη Σύμπαν). Η μυθολογία είναι δηλαδή ο τρόπος που είχαν βρει οι πρόγονοι μας να μεταφέρουν στον ορατό κόσμο της ύλης, όσα δεν ήταν ορατά, προκειμένου να βοηθηθούν στην περαιτέρω διερεύνηση και να δώσουν εμπεριστατωμένες εξηγήσεις για τον τρόπο και τον λόγο της ύπαρξης και ταυτόχρονα να διατηρήσουν κρυφή τη γνώση από εκείνους που δεν μπορούσαν ν' αντιληφθούν την σημασία της, γεγονός που τους καθιστούσε επικίνδυνους. 
Στοιχεία της μυθολογίας μας με εκπληκτική ομοιότητα, βρίσκει κανείς διάσπαρτα μέσα στις γραφές της Χριστιανικής θρησκείας, γεγονός που σε συνδυασμό με τον τρόπο που επιβλήθηκε αυτή στους Έλληνες και την εβραϊκή προέλευσή της, οδηγεί τη λογική στο συμπέρασμα πως η μυθολογία μας χρησιμοποιήθηκε για να νιώσουν οι Έλληνες οικειότητα με τον Χριστιανισμό. 
Του κάκου προσπαθούν κάποιοι να πείσουν πως ο Χριστιανισμός είναι η συνέχιση της δικής μας ΛΑΤΡΕΙΑΣ (και όχι θρησκείας) στους θεους μας. 
Η μεγάλη διαφορά και το ασυμβίβαστο, είναι πως η ελληνική θεολογία δεν είναι βασισμένη στο δόγμα, αλλά στην ΕΠΙΣΤΗΜΗ... Γεγονός που πρακτικά, δίνει την δυνατότητα σε ΟΠΟΙΟΝΔΗΠΟΤΕ επιθυμεί και γνωρίζει να την εξελίξει. "Εργαλείο" για κάτι τέτοιο εξακολουθούν να είναι όλοι οι κλάδοι των Μαθηματικών. Και ιδανικός, εκείνος που τους κατέχει ΟΛΟΥΣ. 
Να έχετε μια όμορφη και ξέγνοιαστη ημέρα Απόλλωνος! Καλημέρα! 
Υ.Γ. Στην φωτογραφία, το γενεαλογικό δένδρο των θεών και των ηρώων της μυθολογίας από την "Θεογονία" του Ησιόδου.

Τετάρτη 2 Οκτωβρίου 2024

αλιεύω κωπηλατώντας στην ανοιχτή θάλασσα της πληροφορίας - Όπερ Έδει Δείξαι

από το χρονολόγιο του Γιάννης Τσιανάκας
https://www.facebook.com/yannistsianakas/posts/pfbid0iwKuf3V7uSc8hKAC1H41aiPTaneNuYUdsUvrQha2KmgVPdKkpSeSKD8sb8E9SQPPl
Όπερ Έδει Δείξαι.
Με την φράση Όπερ Έδει ∆είξαι (ο.ε.δ), δηλαδή το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί, έκλεινε ο Ευκλείδης κάθε θεώρηµα στα Στοιχεία.
Αντιστοίχως κάθε κατασκευή έκλεινε µε τη φράση:
Όπερ Έδει Ποιήσαι, δηλαδή όπως έπρεπε να κατασκευαστεί.
Στα λατινικά η αντίστοιχη φράση είναι:
Quod Erad Demonstrandum (Q.E.D).
Στη φράση αυτή συνοψίζεται η πεµπτουσία των µαθηµατικών. Κάθε µαθηµατική πρόταση πρέπει να αποδειχθεί ώστε να εγκυροποιηθεί και να γίνει καθολικά αποδεκτή από τη µαθηµατική κοινότητα. 
Η απόδειξη εισήχθη στα µαθηµατικά από τον Θαλή (640-546 π.Χ) και έκτοτε τα συνοδεύει απαρέγκλιτα στο ταξίδι τους µέσα στο χρόνο, καθιστώντας τα ισχυρά και απαλλάσσοντάς τα, κατά το δυνατόν, από υποκειµενικότητες.
Επίσης, µε τη φράση:
Όπερ Έδει ∆είξαι, ή Ποιήσαι ο Ευκλείδης ήθελε να τονίσει και το εξής. 
Αφού αποδείξαµε µια πρόταση και κατακτήσαµε τη γνώση που µας προσφέρει προχωράµε στην απόδειξη (ή κατασκευή) της επόµενης πρότασης. 
Η ολοκλήρωση µιας πρότασης είναι η αφετηρία για την επόµενη. 
∆εν σταµατάµε λοιπόν στα κατακτηθέντα, αλλά προχωράµε στην επόµενη γνώση διαρκώς!
Το ερώτηµα που τίθεται τώρα είναι πότε σταµατάµε. 
Η απάντηση είναι όταν κατακτήσουµε το στόχο που έχουµε θέσει από την αρχή.
Αυτό ο Ευκλείδης το έκανε με µεγάλη µαεστρία στα Στοιχεία και δεν σταµάτησε παρά στην 465η πρόταση, όπου απέδειξε ότι τα Πλατωνικά Στερεά είναι ακριβώς αυτά τα πέντε, δηλαδή τα κανονικά:
Τετράεδρο, Κύβος, Οκτάεδρο, ∆ωδεκάεδρο και Εικοσάεδρο. 
Συνεπώς ο σκοπός της συγγραφής των Στοιχείων ήταν η κατασκευή των πέντε Πλατωνικών Στερεών σε µια διαδροµή 465 προτάσεων. Στη διαδροµή αυτή, σύµφωνα µε τον Πρόκλο (412-485 µ.Χ), δεν χρησιµοποίησε όλες τις γνωστές προτάσεις, αλλά µόνο αυτές που ήταν απαραίτητες για τον τελικό σκοπό.
Αυτή είναι η παρακαταθήκη του Μεγάλου ∆άσκαλου Ευκλείδη που τηρείται απαρέγκλιτα µέχρι σήµερα.

Τετάρτη 5 Ιουνίου 2024

Ο Alexander Grothendieck, ο ιδιοφυής μαθηματικός που αποκάλυψε διασυνδέσεις μεταξύ φαινομενικά ασύνδετων πεδίων και που στη συνέχεια εγκατέλειψε την κοινωνία.

Alexandre Grothendieck/Αλεξάντερ Γκρόθεντικ - γιατί άραγε κάποια μεγάλα μυαλά απαρνιούνται τα πάντα και γίνονται ερημίτες;
Τι έχουν ανακαλύψει για τη ζωή,
για τον πλανήτη μας,
για τον "κόσμο" και απαρνιούνται τα πάντα και γίνονται ερημίτες στα Πυρηναία, όπως ο  κορυφαίος μαθηματικός του εικοστού αιώνα Alexandre Grothendieck;
Ο Alexandre Grothendieck ήταν γιός ενός Ρώσου αναρχικού και μιας Γερμανίδας ακτιβίστριας, ο οποίος έζησε τα παιδικά του χρόνια ανάμεσα σε οικοτροφεία και στρατόπεδα συγκεντρώσεως. 
Αυτό δεν τον εμπόδισε να γίνει κατά τις δεκαετίες του 1950 και 1960 ένας από τους κορυφαίους μαθηματικούς του εικοστού αιώνα. 
Η γνωριμία του με τα μαθηματικά έγινε ενώ ζούσε σε στρατόπεδο συγκέντρωσης στη Γαλλία του Vichy.
Εκεί ο Alexander Grothendieck διδάχθηκε μαθηματικά από ένα κορίτσι, κρατούμενο και αυτό. που ονομαζόταν Μαρία. 
Η Μαρία δίδαξε στον Grothendieck, ο οποίος ήταν δώδεκα ετών, τον ορισμό του κύκλου: όλα τα σημεία που ισαπέχουν από ένα δεδομένο σημείο. 
Ο ορισμός τον εντυπωσίασε με "την απλότητα και τη σαφήνειά του", έγραψε χρόνια αργότερα. 
Η ιδιότητα της τέλειας στρογγυλότητας του φαινόταν μέχρι τότε "μυστηριώδης πέρα από κάθε λέξη"
* Εκτός από το μετάλλιο Fields, ο Alexandre Grothendieck είχε λάβει και το βραβείο Crafoord από τη Βασιλική Σουηδική Ακαδημία Επιστημών, αξίας 450.000 ευρώ, το οποίο αρνήθηκε, εξηγώντας ότι ο μισθός του ήταν υπεραρκετός!
Τιμήθηκε με την ανώτατη διάκριση για μαθηματικό, το μετάλλιο Fields, δίδαξε σε ονομαστά ιδρύματα όπως το Collège de France και το Institut des Hautes Études Scientifiques. 
Η συμβολή του εκείνα τα χρόνια οδήγησε σε τέτοιες ριζικές αλλαγές το τοπίο της μαθηματικής έρευνας, που για πολλούς συναδέλφους του o Alexandre Grothendieck θεωρείται ο μεγαλύτερος μαθηματικός της εποχής του.
Ο μαθηματικός του M.I.T. Michael Artin, ο οποίος συνεργάστηκε με τον Grothendieck στις αρχές της δεκαετίας του '60, όταν τον ρώτησαν για τη συμβολή του Grothendieck είπε γελώντας - Λοιπόν, όλα άλλαξαν στον κλάδο μας, ήρθε και ήταν σαν τη μέρα με τη νύχτα. 
Ήταν μια επανάσταση!
Ήταν κοινός τόπος στους ερευνητές μαθηματικούς των τελευταίων δεκαετίων του εικοστού αιώνα ότι ο Alexandre Grothendieck ήταν ο μεγαλύτερος όλων, ο άνθρωπος που άλλαξε τα μαθηματικά της εποχής του όσο κανένας άλλος.
Ανακαλύψεις του επηρέασαν και άλλαξαν τον κόσμο των μαθηματικών!
Στην αρχή της δεκαετίας του 1970 το ενδιαφέρον του Grothendieck μετατοπίστηκε από τα μαθηματικά στην πολιτική και την οικολογία. 
Σταδιακά άρχισε να απομακρύνεται από την επιστημονική κοινότητα μέχρι που γύρω στο 1990 αποσύρθηκε σ’ ένα χωριό των Πυρηναίων όπου, με κύρια ενασχόληση το μυστικισμό και τη θρησκεία, πέρασε τα τελευταία χρόνια της ζωής του σαν ερημίτης συναντώντας ελάχιστους ανθρώπους και αρνούμενος οποιαδήποτε δημόσια εμφάνιση. 
Πέθανε στις 13 Νοεμβρίου 2014 σε ηλικία 86 ετών.
Ήταν λοιπόν άλλος ένας, από τους ελάχιστους που περπάτησαν στον πλανήτη μας, διαφορετικός μεγαλοφυής που έφυγε για να απομονωθεί στα Πυρηναία μέχρι τον θάνατο του.
Σίγουρα κάτι πολύ περισσότερο γνώριζε από όλους εμάς εδώ κάτω...
* Εκτός από το μετάλλιο Fields, ο Alexandre Grothendieck είχε λάβει και το βραβείο Crafoord από τη Βασιλική Σουηδική Ακαδημία Επιστημών, αξίας 450.000 ευρώ, το οποίο αρνήθηκε, εξηγώντας ότι ο μισθός του ήταν υπεραρκετός!
            κείμενο και επιμέλεια κειμένου:ntina

Τετάρτη 14 Φεβρουαρίου 2024

Evariste Galois, ο άνθρωπος που άλλαξε την πορεία των μαθηματικών!

"Ονειρεύομαι μια μέρα που ο εγωισμός δεν θα βασιλεύει πια στις επιστήμες, που οι άνθρωποι θα ενώνουν τις δυνάμεις τους για να μελετήσουν, αντί να στέλνουν σφραγισμένους φακέλους σε ακαδημαϊκούς, θα σπεύδουν να δημοσιεύσουν την παραμικρή τους παρατήρηση, αν είναι καινούργια, και θα προσθέτουν "δεν ξέρω τα υπόλοιπα".
γύρω στα 1830, στο περιβάλλον του Παρισιού, με την έντονη Μαθηματική δραστηριότητα, αναπτύχθηκε μια μεγαλοφυΐα τεραστίου μεγέθους,
που σαν κομήτης εξαφανίστηκε τόσο ξαφνικά, όπως τόσο ξαφνικά είχε εμφανιστεί...
στη σύντομη και πολυτάραχη ζωή του ο Εβαρίστ Γκαλουά/Evariste Galois, πρόλαβε να αλλάξει την όψη της σύγχρονης Άλγεβρας και να δώσει απαντήσεις σε προβλήματα που απασχολούσαν τα Μαθηματικά για περισσότερα από 3.000 χρόνια - Βαβυλωνίους, αρχαίους Έλληνες και Άραβες...
...αυτό το θαυμάσιο μυαλό δεν έλαχε να περπατήσει πολύ πάνω στη Γη!
...βρέθηκε επανειλημμένως στη δίνη πολιτικών αντιπαραθέσεων που όχι μόνο τον απομάκρυναν από την Ακαδημαϊκή καριέρα αλλά τον οδήγησαν τελικά στο θάνατο...
Evariste Galois!
ο άνθρωπος που άλλαξε την πορεία των μαθηματικών!
Αλλά δεν έχω το χρόνο, και οι ιδέες μου δεν έχουν ακόμη αναπτυχθεί πλήρως σε αυτόν τον τεράστιο τομέα.
Ο Evariste Galois γεννήθηκε στις 25 Οκτωβρίου 1811 στη μικρή πόλη Bourg la Reine που βρίσκεται μερικά χιλιόμετρα νότια του Παρισιού.
Ο πατέρας του ήταν ευχάριστος και πνευματώδης άνθρωπος και ήταν παθιασμένος εχθρός της μοναρχίας!
Διατηρούσε οικοτροφείο νέων και το 1815, όταν ο μικρός Evariste Galois ήταν 4 χρονών, εκλέχθηκε δήμαρχος της Bourg la Reine.
Η μητέρα του προερχόταν από οικογένεια που είχε, επί πολλές γενιές, παράδοση διακεκριμένων δικαστικών.
Κόρη ειρηνοδίκη είχε λάβει κλασσική και θρησκευτική παιδεία, ενώ λάτρευε τον αρχαίο πολιτισμό!
Αυτή την παιδεία μετέδωσε στον γιο της, που πολύ νωρίς τον διέκρινε ένα βαθύ αίσθημα δικαιοσύνης και ένα πάθος για την δημοκρατία!
κείμενο και επιμέλεια κειμένου:ntina

Τρίτη 12 Σεπτεμβρίου 2023

O Gödel και το θεώρημα της μη πληρότητας

"Κάποιοι δεν μπορούν να πουν την αλήθεια, άλλοι δεν μπορούν να πουν ψέματα, αλλά κανείς απ' ότι φαίνεται δεν ξέρει τη διαφορά."
Φανταστείτε ότι φτιάχνετε ένα πρόγραμμα για υπολογιστή στο οποίο περιλαμβάνετε την ακόλουθη πρόταση: "Αυτή η πρόταση είναι ψευδής".
Ύστερα ρωτάτε τον υπολογιστή να σας απαντήσει αν η προηγούμενη πρόταση είναι σωστή ή λάθος.
Αν ο υπολογιστής απαντήσει 'σωστό', τότε η πρόταση είναι ψευδής. 
Αν απαντήσει 'λάθος', τότε η πρόταση είναι αληθής.
Ο υπολογιστής θα πέσει σ' έναν ατέρμονο βρόγχο (loop), από τον οποίο δεν θα καταφέρει να βγει παρά μόνο με black- out! 
Το προηγούμενο παράδοξο ονομάζεται 'παράδοξο του ψεύτη' /liar paradox
Σαν κάποιος - όπως στο σκίτσο, να μας λέει με απόλυτη ειλικρίνεια: 'Μην πιστεύεις τίποτε απ' ό,τι σου λέω!'.
Υπάρχουν παραλλαγές του παραδόξου όπως οι προτάσεις: 'Η προηγούμενη πρόταση είναι σωστή', 'η επόμενη είναι λάθος', κοκ. 
Η βασική αρχή πάντως που παραβιάζεται σε κάθε περίπτωση είναι η συνέπεια/consistency. Κάθε λογική μας πρόταση θα πρέπει να χαρακτηρίζεται από συνέπεια. 
Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα σωστή και λάθος, συντακτικά και νοηματικά. Αυτή είναι και η βασική αρχή της επαγωγικής λογικής. 
Αυτό θα μπορούσε κάποιος αμέσως να σκεφτεί στην προηγούμενη ερώτηση: "Ποια ερώτηση;". 
Θα χρειαζόταν δηλαδή κάποια επιπλέον πρόταση, η οποία δεν περιέχεται στην προηγούμενη πρότασή μας.
Ο Gödel ήταν αυτός που επεξέτεινε το παραπάνω παράδοξο για να δείξει ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί ποτέ μια 'τέλεια μηχανή της αλήθειας', γιατί ακριβώς δε θα μπορούσε να απαντήσει αν η πρόταση: "Δεν θα πεις ποτέ ότι αυτή η πρόταση είναι αληθής", είναι αληθής ή ψευδής. 
Κατάφερε μάλιστα να μαθηματικοποιήσει το παραπάνω παράδοξο, στο θεώρημα της μη πληρότητας, το οποίο απλά λέει ότι σε κάθε σύστημα υπάρχει πάντοτε μία παραδοχή η οποία είναι αληθής, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα από το σύστημα. 
Σε συντομία, για κάθε θεωρία Τ υπάρχει η αντίστοιχη πρόταση G που λέει "Η πρόταση G δεν μπορεί να απαντηθεί μέσα από τη θεωρία Τ." 
Αν η G ήταν αποδείξιμη με τα αξιώματα της Τ και τους επαγωγικούς κανόνες, τότε η Τ θα είχε ένα θεώρημα G, πράγμα που ακυρώνει την αρχική υπόθεση, πράγμα που αποτελεί αντίφαση και επομένως η θεωρία Τ θα ήταν ασυνεπής. 
Αν η θεωρία Τ είναι συνεπής, τότε η πρόταση G δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα από τη θεωρία, οπότε η θεωρία Τ είναι ατελής/μη πλήρης.
Το βασικό χαρακτηριστικό του προηγούμενου παραδόξου και του θεωρήματος της μη πληρότητας του Gödel είναι η λεγόμενη 'αυτοαναφορά/self-reference', μία πρόταση δηλαδή που αναφέρεται κατευθείαν στον εαυτό της. 
Σκεφτείτε για παράδειγμα την παραδοχή: "Είμαι όμορφος". 
Μόλις είπα κάτι που ούτε μπορεί να αποδειχτεί, ούτε ίσως έχει νόημα για τον κόσμο. 
Κατά τον ίδιο τρόπο, το θεώρημα του Gödel μας λέει ότι υπάρχουν παραδοχές οι οποίες δεν μπορούν να αποδειχτούν με τα αξιώματα του (ίδιου) συστήματος, γιατί αναφέρονται ακριβώς σε αυτά τα αξιώματα των οποίων αποτελούν λογική συνέπεια.
Υπάρχει κι άλλο ένα σημαντικό στοιχείο στο οποίο πρέπει να σταθούμε. 
Η έννοια της αλήθειας. 
Πώς μπορούμε να δεχόμαστε κάτι ως αληθινό αν δεν μπορούμε να αποδείξουμε ότι είναι αληθινό; 
Υπάρχει και μία 'θεωρία της αλήθειας' (Redundancy theory of truth) που λέει ότι η αλήθεια είναι μία περίφραση, ένας πλεονασμός, καθώς πρόκειται για μια λέξη που αναφέρεται σε κάποιο συγκεκριμένο περιεχόμενο, στα ίδια της τα αξιώματα θα λέγαμε, παρά σε κάτι το πραγματικό. 
Ο Θεός, η ύπαρξή μας, η ζωή μετά θάνατο, είναι συνηθισμένες καθημερινές μας 'αλήθειες', που ισχύουν έστω κι αν δεν μπορούν να αποδειχθούν με στοιχεία από τον πραγματικό κόσμο.
Το θεώρημα (δύο θεωρήματα στην πραγματικότητα) της μη πληρότητας του Gödel, είναι θεώρημα της μαθηματικής λογικής. 
Εντούτοις θα μπορούσαμε να το γενικεύσουμε σε όλους τους τομείς της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. 
Πολλές φορές η σκέψη μας οδηγείται σε παράδοξα και άτοπα, χωρίς να φαίνεται να υπάρχει κάποιο 'λογικό σφάλμα.' 
Δεχόμαστε αξιώματα ως προσωπικές ή 'αντικειμενικές' αλήθειες, οι οποίες και είναι αυτονόητες, δηλαδή δεν μπορούν ούτε και έχει νόημα να αποδειχθούν. 
Επίσης, η σύγχρονη φυσική ψάχνει τη μεγάλη ενοποιημένη θεωρία των πάντων. 
Αν δεχτούμε όμως ότι το θεώρημα του Gödel επεκτείνεται και στο χώρο της φυσικής, τότε οι προσπάθειές μας για αυτήν την ενοποίηση και την πλήρωση της ανθρώπινης γνώσης είναι ουτοπικές...

Κυριακή 5 Ιανουαρίου 2020

Μαθαίνω : Διαίρεση δεκαδικών αριθμών με το 10, 100, 1000

Μαθαίνω – Διαίρεση δεκαδικών αριθμών με το 10, 100, 1000
Για να διαιρέσουμε σύντομα ένα δεκαδικό αριθμό με το 10, μετακινούμε την υποδιαστολή του δεκαδικού μία θέση προς τα αριστερά.
Αν μας λείπουν ψηφία, συμπληρώνουμε με μηδενικά.
Παραδείγματα:
2,45 : 10 = 0,245
0,432 : 10 = 0,0432
Για να διαιρέσουμε σύντομα ένα δεκαδικό αριθμό με το 100 μετακινούμε την υποδιαστολή του δεκαδικού δύο θέσεις προς τα αριστερά.
Αν μας λείπουν ψηφία, συμπληρώνουμε με μηδενικά.
Παράδειγμα:
6 :100 = 0,06
Για να διαιρέσουμε σύντομα ένα δεκαδικό αριθμό με το 1.000, μετακινούμε την υποδιαστολή του δεκαδικού τρεις θέσεις προς τα αριστερά.
Αν μας λείπουν ψηφία, συμπληρώνουμε με μηδενικά.
Παράδειγμα:
584,6 : 1000 =0,5846

Τετάρτη 6 Μαρτίου 2019

Δυσλεξία...

"..μέχρι την ηλικία των δεκατριών ετών ήμουν αποπροσανατολισμένος τόσο συχνά που με θεωρούσαν καθυστερημένο.
Σήμερα θα με έβαζαν στην κατηγορία των αυτιστικών.
Κατά συνέπεια, έχω πολύ λίγες "πραγματικές" αναμνήσεις από την παιδική μου ηλικία. 
Δεν αμφιβάλλω όμως ότι το ακόλουθο περιστατικό που μου περιέγραψε η μητέρα μου αληθεύει.
Όταν ήμουν στην Δ δημοτικού, ο δάσκαλος μου προβληματιζόταν από το γεγονός ότι ενώ δεν μπορούσα να λύνω άπλα προβλήματα, έβρισκα αμέσως τις λύσεις πολύπλοκων εξισώσεων άλγεβρας. 
Μια μέρα, αφού το συζήτησε με την μητέρα μου, με ρώτησε: "Αν το x ισούται με 1 και το y με το 7, πόσο μας κάνει 2y-x;"
Χωρίς να χάσω καθόλου χρόνο του απάντησα :"Δεκατρία".
Mε ρώτησε πως βρήκα την απάντηση, του απάντησα ότι την είδα.
Όταν με ρώτησε τι ήταν αυτό που είδα, έκανα δυο νοητές κουκκίδες στον αέρα και μετά άλλες τρεις κάτω από τις πρώτες.
Ο δάσκαλος ανέφερε ότι ει χε ακούσει για κάποιους ανθρώπους που τους έλεγαν "σοφούς" και οι οποίοι μπορούσαν να κάνουν κάτι τέτοιο.
"Εννοείτε ηλίθιους σοφούς;" είπε αγανακτισμένη η μητέρα μου.
Τα είπε ένα χεράκι στο δάσκαλο που με αποκαλούσε μέχρι τότε ηλίθιο, με άρπαξε από το μπράτσο και παρελάσαμε θριαμβευτικά προς την έξοδο του σχολείου.
Μετά από εκείνο το επεισόδιο με άλλαξαν τάξη και μου έκοψαν τα μαθηματικά μέχρι την ΣΤ δημοτικού, οπότε άρχισα να παρακολουθώ άλγεβρα.
Στην άλγεβρα έλυνα σωστά κάθε πρόβλημα του βιβλίου,κάθε άσκηση που έγραφε ο δάσκαλος στον πίνακα και όλα τα προβλήματα των διαγωνισμάτων. 
Παρ όλα αυτά δεν με προβίβασαν στην επόμενη τάξη. 
Η εξήγηση του δάσκαλου ήταν ότι ο σκοπός του μαθήματος δεν ήταν μόνο να δίνομε σωστές απαντήσεις, έπρεπε και να μάθουμε πως να λύνουμε τα προβλήματα. 
Εγώ δεν είχα λύσει αναλυτικά ούτε ένα. Το μόνο που είχα κάνει ήταν να γράψω τις απαντήσεις."

Ρ.Μ.Ντειβις, ιδρυτής κέντρου αντιμετώπισης δυσλεξίας στην πολιτεία της Καλιφόρνια
https://www.davisdyslexia.com/
πηγή:mathhmagic.blogspot.com

Κυριακή 21 Ιανουαρίου 2018

Άλαν Τούρινγκ: Ο άνθρωπος που γέννησε τους υπολογιστές και νίκησε τους ναζί

έφυγε από τη ζωή σαν σήμερα, στις 7 Ιουνίου 1954, σε ηλικία 42 ετών.

Μαθηματικός, κρυπτογράφος, θεωρητικός βιολόγος, «πατέρας» της «επιστήμης των υπολογιστών», με άλλα λόγια της πληροφορικής, ο Βρετανός Άλαν Τούρινγκ ήταν ο ιδιοφυής επιστήμονας που «έσπασε» τον μυστικό κωδικό  Enigma των Γερμανών, σώζοντας εκατομμύρια ζωές, δίνοντας τη δυνατότητα στους Συμμάχους να κερδίσουν τη μάχη του Ατλαντικού «συντομεύοντας τη διάρκεια του Β΄Παγκοσμίου πολέμου κατά δύο χρόνια», όπως έγραφε ο Guardian.

Επίσης, ένας άνθρωπος με ζωή μυθιστορηματική και ένα φινάλε, που εν πολλοίς παραμένει μυστήριο.
Ο Άλαν Μάθισον Τούρινγκ γεννήθηκε στο Λονδίνο στις 23 Ιουνίου 1912.
Το ταλέντο του στα μαθηματικά αποκαλύφθηκε σε ηλικία 13 ετών, παρότι τα γραπτά του χαρακτηρίζονταν από τους καθηγητές του «ακατάστατα και πρόχειρα».
Η φυσική κλίση του στα μαθηματικά δεν ήταν ικανή να κερδίσει τον σεβασμό των δασκάλων του στο περιώνυμο Sherborne, το οποίο έδινε περισσότερη έμφαση στους κλασικούς. 
Το 1928, σε ηλικία 16 ετών, μελετά την εργασία του Αϊνστάιν και όχι μόνο την καταλαβαίνει, αλλά καταφέρνει να προεκτείνει τα ερωτήματα του κορυφαίου φυσικού για τους νόμους του Νεύτωνα που αφορούν την κίνηση, σε ένα κείμενο το οποίο τελικά δεν δημοσιεύθηκε.
Τα χρόνια εκείνα ερωτεύεται έναν συμμαθητή του, τον Κρίστοφερ Μόρκομ, ο οποίος λίγους μήνες αργότερα πεθαίνει από βοοειδή φυματίωση, μετά από κατανάλωση μολυσμένου γάλακτος αγελάδας.
Η απώλεια κλονίζει την πίστη του.
Τον οδηγεί στον αθεϊσμό και στην πεποίθηση ότι όλα τα φαινόμενα έχουν υλιστική βάση.
Λόγω της απροθυμίας του να εργαστεί συστηματικά στα θεωρητικά μαθήματα (όσο στα μαθηματικά), ο Τούρινγκ απέτυχε να κερδίσει υποτροφία στο κολέγιο Trinity του Κέιμπριτζ και πήγε στο κολέγιο της δεύτερης επιλογής του, στο Κινγκς Κόλετζ του Κέιμπριτζ, αποφοιτώντας με Άριστα στα Μαθηματικά.
Το 1935 και σε ηλικία μόλις 22 ετών, εκλέγεται μέλος του King's College χάρη στη διατριβή του, με την οποία απέδειξε το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem).
Το 1936 δημοσιεύει την πραγματεία «On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem», που αναγνωρίζεται ως το λαμπρότερο έργο του.
Αποδεικνύει ότι υπάρχουν ορισμένα μαθηματικά προβλήματα που δεν μπορούν να επιλυθούν δια μιας σταθεράς, καθορισμένης διεργασίας, την οποία χαρακτήριζε ως διεργασία που μπορεί να εκτελεστεί από αυτόματη μηχανή.
Αποδεικνύει επίσης, τη δυνατότητα κατασκευής μιας μηχανής γενικής χρήσης («Μηχανή Τούρινγκ»), η οποία, καταλλήλως προγραμματιζόμενη, θα μπορούσε να εκτελέσει το έργο οποιασδήποτε κατασκευασμένης για την επίλυση ειδικών προβλημάτων μηχανής.
Αυτή η ιδέα μια μηχανής γενικής χρήσης αποτέλεσε τη θεωρητική βάση για τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, που εμφανίστηκαν τη δεκαετία του ’40.
Ο Τούρινγκ συνέχισε τις σπουδές του στα Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον στις ΗΠΑ και το 1938 αναγορεύτηκε διδάκτορας Μαθηματικών, με τη διατριβή «Systems of Logic Based on Ordinals».
Με την αποφοίτησή του δέχεται τη θέση του καθηγητή Μαθηματικής Λογικής που του προσφέρθηκε στο King’s College, όπου και θα είχε παραμείνει, εάν δεν μεσολαβούσε ο Β’ Παγκόσμιος Πόλεμος και η εφεύρεση της «μηχανής Τούρινγκ».
Το έργο του
Εξελίσσοντας ακόμα περισσότερο την ιδέα του αλγορίθμου, δημιουργεί και τα πρώτα προγράμματα τα οποία ήταν κατάλληλα για να διαβαστούν από μια μηχανή.
Για την ακρίβεια, «έγραφε» προγράμματα σε μορφή διάτρητων ταινιών, τις οποίες «διάβαζε» σειριακά μια μηχανή, η οποία σύμφωνα με αυτό που διάβαζε, εκτελούσε μια ενέργεια.
Η πρώτη αυτή νοητή μηχανή που την δημιούργησε το 1937 και την ονόμασε Αυτόματη Μηχανή,  είναι ο σημερινός υπολογιστής και οι διάτρητες ταινίες είναι πλέον τα σύγχρονα προγράμματα.
Παρά την τεράστια εξέλιξη στην επιστήμη των υπολογιστών τις τελευταίες δεκαετίες, βλέπετε ότι η αρχή παραμένει η ίδια.
Η μηχανή που ονομάστηκε μηχανή του Turing (Turing Machine) διδάσκεται μέχρι σήμερα στις πανεπιστημιακές σχολές Πληροφορικής σε όλο τον κόσμο. Στην ουσία επρόκειτο για ένα νοητικό πείραμα με το οποίο όμως μέχρι και σήμερα, βασιζόμενοι στις αρχές του, μπορούμε να δούμε τα όρια της μηχανής (ενός μηχανήματος, ενός η/υ) όσων αφορά την νοημοσύνη του, στην ουσία δηλαδή, την «Τεχνητή Νοημοσύνη».
Εργάζεται στο Εθνικό Εργαστήριο Φυσικής όπου δημιουργεί τα σχέδια για έναν από τους πρώτους υπολογιστές με αποθηκευμένα προγράμματα, τον ACE, o οποίος ποτέ δεν ολοκληρώθηκε στην πλήρη μορφή του.
Το 1948 μεταβαίνει στο Πανεπιστήμιο του Manchester όπου εργάστηκε πάνω στη δημιουργία και εξέλιξη ενός πλέον από τους γνωστότερους πρώτους υπολογιστές τον MARK 1.
Enigma
Εξαιρετικά σημαντική ήταν και η συμβολή του κατά τη διάρκεια του Β’ Παγκοσμίου πολέμου. Εγκατεστημένος στο Bletchley Park, το κέντρο αποκρυπτογράφησης της Μεγάλης Βρετανίας, διετέλεσε για ένα διάστημα επικεφαλής της περίφημης επίλεκτης ομάδας Hut 8, η οποία ήταν υπεύθυνη για την κρυπτανάλυση των σημάτων των Γερμανικών ναυτικών δυνάμεων.
Ανέπτυξε τεχνικές πάνω στην κρυπτανάλυση και «έσπασε» πολλούς κωδικούς των Γερμανών καθώς και της μηχανής Enigma, της ειδικής γραφομηχανής που είχαν εφεύρει οι Γερμανοί επιστήμονες της εποχής για την κρυπτογράφηση των μηνυμάτων τους, της οποίας η αποκρυπτογράφηση ήταν εξαιρετικά δύσκολη.
Το γεγονός ότι εργάστηκε για τη Βρετανική Αντικατασκοπεία και κατάφερε να «σπάσει» τους κωδικούς της Enigma, έδωσε τη δυνατότητα στους Συμμάχους να κερδίσουν τη μάχη του Ατλαντικού «συντομεύοντας τη διάρκεια του Β΄ παγκοσμίου πολέμου κατά δύο χρόνια».
Ανάμεσα στα χιλιάδες μηνύματα ήταν από αστεία μεταξύ Γερμανών στρατιωτών μέχρι εντολές απευθείας από τον Χίτλερ.
Τα πιο κρίσιμα όμως δεν ήταν άλλα από αυτά με τις συντεταγμένες του γερμανικού στόλου των U-boats που τορπίλιζε τα cargos με τις προμήθειες που έστελναν οι Αμερικάνοι για να μην λιμοκτονήσει ο βρετανικός λαός.
Όπως θα έλεγε και ο Τσόρτσιλ αργότερα, «το μοναδικό πράγμα που πραγματικά με τρομοκράτησε κατά τη διάρκεια του πολέμου ήταν ο κίνδυνος των γερμανικών U-boat».
Tα μηχανήματα του Τούρινγκ αποκρυπτογραφούσαν 84.000 μηνύματα τοn μήνα, δηλαδή δύο ανά λεπτό.
Στα τέλη του 1941, ο Άλαν Τούρινγκ, μαζί με τους Γκόρντον Γουέλτσμαν*, Χιου Αλεξάντερ και Στιούαρτ Μίλνερ-Μπάρι, εξοργισμένοι από την έλλειψη βοήθειας, παρέκαμψαν την ιεραρχία, σπάζοντας στην πορεία όλους τους κανόνες, και έστειλαν μία επιστολή με αποδέκτη τον Βρετανό πρωθυπουργό, Ουίνστον Τσώρτσιλ.
Στο γράμμα, όπου ως πρώτος αποστολέας εμφανιζόταν ο Τούρινγκ, η μυστική ομάδα κρυπτογράφων του Μπλέτσεϊ Παρκ, έλεγε στον Τσώρτσιλ:
Αν θέλετε να κερδίσετε αυτόν τον πόλεμο, στείλτε μας βοήθεια.
Όπως αποδείχθηκε αργότερα, το γράμμα ήταν ό,τι ακριβώς χρειαζόταν η ομάδα. Ο Τσώρτσιλ αντέδρασε θετικά, και όλα πήραν τον δρόμο τους.
Ο θάνατος και το δαγκωμένο μήλο
Λάτρης της βιολογίας, ο Τούρινγκ θα εφαρμόσει το μαθηματικό του ταλέντο στη μορφογένεση, δηλαδή πώς τα ζώα και τα φυτά αναπτύσσουν ορισμένα μοντέλα μορφών, όπως οι ρίγες της ζέβρας ή οι κηλίδες της αγελάδας, θεωρίες οι οποίες ακόμη απασχολούν τους βιολόγους.
Το 1952 θα δημοσιεύσει το πρώτο μέρος της εργασίας του για τη μορφογένεση, την ανάπτυξη σχεδίου και μορφής στους ζωντανούς οργανισμούς, η οποία θα παραμείνει ημιτελής.
Την ίδια χρονιά, συλλαμβάνεται για παραβίαση του νόμου περί ομοφυλοφιλίας. Κάποια στιγμή στο σπίτι του μπήκαν κλέφτες και το διέρρηξαν.
Ο Τούρινγκ το κατήγγειλε στην αστυνομία.
Όπως αποδείχθηκε, ήταν ο 19χρονος εραστής του αυτός που παρακίνησε και συνεργάστηκε με έναν κακοποιό για τη διάρρηξη.
Με την καταγγελία του, βγήκε στην επιφάνεια η ομοφυλοφιλία του και ο Τούρινγκ καταδικάστηκε με την επιπρόσθετη κατηγορία της «σεξουαλικής διαστροφής».
Δικάστηκε στις 31 Μαρτίου 1952, χωρίς να δεχτεί υπεράσπιση.
Καταδικάστηκε και η επιλογή που του δόθηκε ήταν είτε να πάει στη φυλακή είτε να κάνει ενέσεις οιστρογόνων για ένα χρόνο.
Δέχτηκε το δεύτερο και επέστρεψε σε μία ευρεία γκάμα ακαδημαϊκών επιδιώξεων.
Όχι μόνο συνέχισε την έρευνά του πάνω στη μορφογένεση, αλλά επίσης δούλεψε σε νέες ιδέες στην κβαντική θεωρία και στη θεωρία της σχετικότητας.
Ο Turing πέθανε στις 7 Ιουνίου 1954 στα 42 του χρόνια από δηλητηρίαση ενώ διεξήγαγε πειράματα στην ηλεκτρόλυση. Ένα μισοφαγωμένο μήλο που βρέθηκε δίπλα του αποδείχτηκε ότι περιείχε κυάνιο.
Η σχετική έρευνα κατέληξε στην εκδοχή της αυτοκτονίας, αλλά η μητέρα του πάντοτε υποστήριζε ότι επρόκειτο για ατύχημα.
Έφυγε από τη ζωή συντετριμμένος και απομονωμένος.
Τον βρήκε νεκρό την επομένη ημέρα ο οικονόμος του.
Φημολογείται ότι η γνωστή εταιρεία πληροφορικής Apple διάλεξε ως λογότυπό της ένα μισοφαγωμένο μήλο για να αποτίσει φόρο τιμής σε αυτή τη διάνοια της Πληροφορικής.
Ο Τούρινγκ υπήρξε μια εκκεντρική προσωπικότητα για τα δεδομένα της εποχής του, της  συντηρητικής βρετανικής κοινωνίας των πρώτων μεταπολεμικών χρόνων.
Ήταν εσωστρεφής, άθεος, δεινός μαραθωνοδρόμος (ένας τραυματισμός στο ισχίο τον απέκλεισε από τη βρετανική Ολυμπιακή ομάδα του 1948), εργαζόταν εκ θεμελίων (αγνοώντας την εργασία των προκατόχων του), δεν έκρυβε την ομοφυλοφιλία του και ούτε σεβόταν τα αυστηρά επιστημονικά «σύνορα» της εποχής του (όντας ένας «καθαρός» μαθηματικός, που εισέβαλε στα πεδία της μηχανικής και της ηλεκτρονικής).
Η αυξανόμενη απομόνωσή του, το δικαστικό σκάνδαλο, η αυτοκτονία του και το γεγονός ότι δεν κατάφερε ποτέ να επιβραβευθεί για το έργο του, το οποίο στο πλαίσιο του «Ψυχρού Πολέμου» ήταν σε μεγάλο μέρος του χαρακτηρισμένο ως απόρρητο -ακόμη και φίλοι του αγνοούσαν τη δράση του- άφησαν τον ίδιο και το έργο του στη σκιά για μεγάλο χρονικό διάστημα.
Η διεθνής κοινότητα, εις μνήμην του, καθιέρωσε το βραβείο Turing, το οποίο απονέμεται ετησίως σε εξαίρετους επιστήμονες των υπολογιστών και θεωρείται το Nobel της Πληροφορικής.
Η αποκατάσταση της μνήμης του
Άγαλμα του Τούρινγκ υπάρχει από το 2001 στο Μάντσεστερ, στο πάρκο Sackville, μεταξύ του κτιρίου του Πανεπιστημίου του Μάντσεστερ στην οδό Whitworth και μιας γειτονιάς στο κέντρο της πόλης που αποτελεί στέκι ομοφυλοφίλων.
Για να τιμήσει την 50ή επέτειο του θανάτου του, το Πανεπιστήμιο τοποθέτησε το 2004 μια αναμνηστική πλακέτα στην προηγούμενη κατοικία του, στο Γουίλσμλοου.
Στις 10 Σεπτεμβρίου 2009, ο τότε πρωθυπουργός της Βρετανίας Γκόρντον Μπράουν δήλωσε δημόσια συγγνώμη εκ μέρους της βρετανικής κυβέρνησης για τη συμπεριφορά του κράτους απέναντι στον Άλαν Τούρινγκ, υπό την πίεση σχετικής εκστρατείας συλλογής υπογραφών.
Στις 24 Δεκεμβρίου 2013, η Ελισάβετ Β΄ του απένειμε χάρη μετά θάνατον. 
~~~~~~~~~~~~~~~
πηγή του άρθρου:tvxs.gr
~~~~~~~~~~~~~~
*
William Gordon Welchman